Các phép toán trên tập hợp và cách giải Toán 10 – Sách Toán


adsense

Các phép toán trên tập hợp và cách giải

1. Lý thuyết

– Giao của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: C = A ∩ B .

Vậy: A ∩ B = {x| x ∈ A và x ∈ B} .

– Hợp của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: C = A ∪ B .

Vậy: A ∪ B = {x| x ∈ A hoặc x ∈ B}

– Hiệu của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A \ B.

Vậy:  A \ B = {x| x ∈ A và x ∉ B}.

– Phần bù của hai tập hợp: Khi B ⊂ A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu: CAB.

2. Phương pháp giải

– Giao của hai tập hợp: x ∈ A ∩ B ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}
x \in A\\
x \in B
\end{array} \right.\)

– Hợp của hai tập hợp: x ∈ A ∪ B ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
x \in A\\
x \in B
\end{array} \right.\)

– Hiệu của hai tập hợp: x ∈ A \ B ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}
x \in A\\
x \notin B
\end{array} \right.\)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp A là các ước số tự nhiên của 18 và của tập hợp B là các ước số tự nhiên của 30. Hãy xác định: A ∩ B; A ∪ B; A \ B; B \ A.

Hướng dẫn:

Các ước số tự nhiên của 18 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18. Suy ra A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} .

Các ước số tự nhiên của 30 là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30. Suy ra B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

– Giao của hai tập hợp A và B là các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B

Vậy A ∩ B = {1; 2; 3; 6}.

– Hợp của hai tập hợp A và B là các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

Vậy A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30} .

– Hiệu của tập hợp A và B là các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

Vậy A \ B = {9; 18}.

– Hiệu của tập hợp B và A là các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A

Vậy B \ A = {5; 10; 15; 30}.

Ví dụ 2: Cho A là một tập hợp tùy ý. Hãy xác định các tập hợp sau:

a. A ∩ A .

b. A ∪ A  .

c. A \ A.

d.A ∩ ∅   .

e. A ∪ ∅  .

f. A \ ∅ .

Hướng dẫn:

Sử dụng lý thuyết các phép toán về tập hợp để làm bài này

a.  A ∩ A = {x | x ∈ A và x ∈ A} = {x | x ∈ A} = A.

b.  A ∪ A = {x | x ∈ A hoặc x ∈ A} = {x | x ∈ A} = A

c. A \ A = {x | x ∈ A và x ∉ A} = ∅.

d. A ∩ ∅ = {x | x ∈ A và x ∈ ∅} = ∅.

e. A ∪ ∅ = {x | x ∈ A hoặc x ∈ ∅} = A.

f. A \ ∅ = {x | x ∈ A và x ∉ ∅} = A.

Ví dụ 3: Cho A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}; B = {0; 2; 4; 6; 8; 9} và C = {3; 4; 5; 6; 7}

Hãy tìm A ∩ (B \ C) và (A ∩ B) \ C . Hai tập hợp nhận được bằng nhau hay khác nhau?

Hướng dẫn:

– Ta có : B \ C = {0; 2; 8; 9}; A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}

A ∩ (B \ C) = {x | x ∈ A và x ∈ (B \ C)}. Vậy A ∩ (B \ C) = {2; 9}   (1)

– Ta có: A ∩ B = {2; 4; 6; 9}; C = {3; 4; 5; 6; 7}

(A ∩ B) \ C = {x | x ∈ (A ∩ B) và x ∉ C}. Vậy (A ∩ B) \ C = {2; 9}  (2)

Từ (1) và (2) suy ra A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C .

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tập hợp X = {1; 5}; Y = {1; 3; 5}. Tập X ∩ Y là tập hợp nào sau đây?

A. {1} .

B. {1; 3} .

C. {1; 3; 5} .

D. {1; 5}.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Vì X ∩ Y là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X và vừa thuộc Y nên X ∩ Y = {1; 5}

Câu 2: Cho tập X = {2; 4; 6; 9} ; Y = {1; 2; 3; 4}. Tập X \ Y là tập hợp nào sau đây?

A. {1; 2; 3; 5} .

B. {1; 3; 6; 9} .

C. {6; 9}.

D. {1}.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì X \ Y là tập hợp các phần tử thuộc X mà không thuộc Y nên X \ Y = {6; 9}.

Câu 3: Cho tập hợp X = {a; b; d}; Y = {a; b; c}. Tập   là tập hợp nào sau đây?

A. {a; b; c; d}.

B. {a; b}.

C. {c}.

D. {a; b; c}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Vì X ∪ Y là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y nên X ∪ Y = {a; b; c; d}.

Câu 4: Cho hai tập hợp X = {1; 2; 3; 4}; Y = {1; 2}. Tập CxY là tập hợp sau đây?

A. {1; 2}.

B. {1; 2; 3; 4}.

C. {3; 4}.

D.  ∅

Hướng dẫn:

adsense

Chọn C.

Vì Y ⊂ X nên CxY = X \ Y = {3; 4}

Câu 5: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) bằng:

A. {0; 1; 5; 6} .

B. {1; 2}.

C. {2; 3; 4}.

D. {5; 6}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Ta có: A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}.

Vì A \ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B nên A \ B = {0; 1}

Vì B \ A là tập hợp gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A nên B \ A = {5; 6}

Suy ra: (A \ B) ∪ (B \ A) là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A \ B vừa thuộc B \ A.

Vậy (A \ B) ∪ (B \ A) = {0; 1; 5; 6}

Câu 5: Cho tập hợp A = {a; b; c} và B = {a; b; c; d; e}. Có tất cả bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn A ⊂ X ⊂ B ?

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 8.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì A ⊂ X nên X phải chứa 3 phần tử của A. Mặt khác X ⊂ B nên X chỉ có thể lấy các phần tử a; b; c; d; e. Vậy X là một trong các tập hợp sau:

{a; b; c}; {a; b; c; d}; {a; b; c; e}; {a; b; c; d; e}.

Câu 6: Cho tập hợp A = {x ∈ N | x là ước chung của 36 và 120}. Các phần tử của tập hợp A là:

A. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

B. A = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}.

C. A = {2; 3; 4; 6; 8; 10; 12}.

D. A = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Xét: A1 = {x ∈ N | x là ước của 36} ⇒ A1 = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Xét: A2 = {x ∈ N | x là ước của 120}

⇒ A2 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120}

A = {x ∈ N | x là ước chung của 36 và 120} ⇒ A = A1 ∩ A2 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Câu 7: Ký hiệu H là tập hợp các học sinh của lớp 10A. T là tập hợp các học sinh nam, G là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Khẳng định nào sau đây sai?

A. T ∪ G = H .

B. T ∩ G = ∅  .

C. H \ T = G .

D. G \ T = ∅ .

Hướng dẫn:

Chọn D.

Đáp án D sai vì G \ T là tập hợp các học sinh là nữ và không phải nam nên G \ T = G.

Đáp án A đúng vì T ∪ G là tập hợp các học sinh là nam hoặc là nữ nên T ∪ G là tập hợp các học sinh lớp 10A hay T ∪ G = H

Đáp án B đúng vì T ∩ G là tập hợp các học sinh vừa là nam vừa là nữ. Điều này vô lý nên T ∩ G = ∅ .

Đáp án C đúng vì H \ T là tập hợp các học sinh thuộc lớp 10A và không là nam nên H \ T là tập hợp các học sinh là nữ hay H \ T = G

Câu 8: Cho các tập hợp A = {x ∈ R : x2 – 7x + 6 = 0} ; B = {x ∈ N : |x| < 4}. Khi đó:

A. A ∪ B = A .

B. A ∩ B = A ∪ B .

C. A \ B ⊂ A.

D. B \ A = ∅ .

Hướng dẫn:

Chọn C.

Xét phương trình: x2 – 7x + 6 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 6
\end{array} \right.\) ( thỏa mãn x ∈ R ). Vậy A =

B = { x ∈ N : |x| < 4 } ⇒ B = {0; 1; 2; 3}  .

Vậy A \ B = {6} ⇒ A \ B ⊂ A .

Đáp án A sai vì  A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 6} không bằng A.

Đáp án B sai vì A ∩ B và A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 6}. Hai tập hợp này không bằng nhau.

Đáp án D sai vì B \ A = {0; 2; 3}.

Câu 9: Cho X = {7; 2; 8; 4; 9; 12}; Y = {1; 3; 7; 4}. Tập nào sau đây bằng tập X ∩ Y ?

A. {1; 2; 3; 4; 8; 9; 7; 12}.

B. {2; 8; 9; 12}.

C. {4; 7}.

D. {1; 3}.

Hướng dẫn:

Chọn C.

X ∩ Y là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X vừa thuộc Y ⇒  X ∩ Y = {7; 4}

Câu 10: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 8; 9}; B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp B \ A bằng:

A. {5}.

B. {0; 1}.

C. {2; 3; 4}.

D. {5; 6}.

Hướng dẫn:

Chọn D.

B \ A là tập hợp gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A.

Suy ra B \ A = {5; 6}.



Source link