Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều) – Sách Toán



adsense

Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều)


 

Giải câu 1 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài tập 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định $a, b, c$ lần lượt là hệ số của $x^{2}$, hệ số của $x$ và hệ số tự do.

a. $y=-3 x^{2}$;

b. $y=2 x\left(x^{2}-6 x+1\right)$;

c. $y=4 x(2 x-5)$.

Bài giải:

a. $y=-3 x^{2}$ là hàm số bậc hai.

$a=-3;b=0;c=0$

b. $y=2 x\left(x^{2}-6 x+1\right)$ $\Leftrightarrow y=2x^3-12x^2+2x$ không phải hàm số bậc hai.

c. $y=4 x(2 x-5)$ $\Leftrightarrow y=8x^2-20x$ là hàm số bậc hai.

$a=8;b=-20;c=0$

Giải câu 2 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài tập 2. Xác định parabol $y=a x^{2}+b x+4$ trong mỗi trường hợp sau:

a. Đi qua điểm $M(1 ; 12)$ và $N(-3 ; 4)$;

b. Có đỉnh là $I(-3 ;-5)$.

Bài giải:

a. Parabol $y=a x^{2}+b x+4$ đi qua điểm $M(1 ; 12)$ và $N(-3 ; 4)$ nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a.1^{2}+b.1+4=12 \\ a .(-3)^{2}+b .(-3)+4=4\end{array}\right.$ 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=6\end{array}\right.$ 

Vậy parabol là $y=2 x^{2}+6 x+4$

b. Ta có: $\frac{-b}{2 a}=-3 \Leftrightarrow b=6 a$ (1)

Thay tọa độ $I(-3 ;-5)$ vào $y=a x^{2}+b x+4$ ta được:

$a . (-3)^2 + b . (-3) + 4=-5 $

$\Leftrightarrow$ $3a-b=-3$ (2)

Từ (1) và (2) ta được: $\left\{\begin{array}{l}b = 6 a \\ 3 a – b = – 3\end{array}\right.$ 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}b = 6 \\ a=1\end{array}\right.$ 

Vậy parabol là $y=x^{2}+6 x+4$.

Giải câu 3 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài tập 3. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a. $y=2 x^{2}-6 x+4$;

b. $y=-3 x^{2}-6 x-3$.

Bài giải:

a. $y=2 x^{2}-6 x+4$

Ta có: $\Delta=(-6)^{2}-4.2 .4=4$

  • Toạ độ đỉnh $I(\frac{3}{2};\frac{-1}{2})$.
  • Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$.
  • Giao điểm của parabol với trục tung là $A(0 ;4)$.
  • Giao điểm của parabol với trục hoành là $B(1; 0)$ và $C(2; 0)$.
  • Điểm đối xứng vối điểm $A(0 ;4)$ qua trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$ là $D(3;4)$.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số như hình.

Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều)

b. $y=-3 x^{2}-6 x-3$

Ta có: $\Delta=(-6)^{2}-4.(-3).(-3)=0$.

  • Toạ độ đỉnh $I(-1;0)$.
  • Trục đối xứng $x=-1$.
  • Giao điểm của parabol với trục tung là $A(0 ;-3)$.
  • Điểm đối xứng vối điểm $A(0 ;-3)$ qua trục đối xứng $x=-1$ là $B(-2;-3)$.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số như hình.

Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều)


adsense

Giải câu 4 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài tập 4. Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.

a. Xác định trục đối xứng, toạ độ đỉnh của đồ thị hàm số.

b. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

c. Tìm công thức xác định hàm số.

Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Bài giải:

a. Từ đồ thị hàm số, ta thấy trục đối xứng là đường thẳng $x=2$

Đỉnh của đồ thị hàm số là $I(2 ;-1)$

b. Từ chiều hướng đi lên và đi xuống của đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; 2)$ và đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.

c. Gọi hàm số là $y=a x^{2}+b x+c \ (a \neq 0)$

Ta có $I(2 ;-1)$ nên: $\left\{\begin{array}{l}- \frac { b } { 2 a } = 2  \\ a . 2 ^ { 2 } + b . 2 + c = – 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}b=-4 a \\ 4 a+2 b+c=-1\end{array}\right.$

Từ hình vẽ, ta có điểm $(1 ; 0)$ thuộc đồ thị nên: $a+b+c=0$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}b = – 4 a \\ 4 a+2 b+c=-1 \\ a + b + c = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} { l } b = – 4 a \\ 4 a + 2 . ( – 4 a ) + c = – 1 \\ a  – 4 a + c = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} b=-4 a \\ c-4 a=-1 \\c-3 a=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } a = 1 \\ b = -4 \\ c = 3\end{array}\right.$

Vậy parabol là $y=x^{2}-4 x+3$

Giải câu 5 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài tập 5. Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a. $y=5 x^{2}+4 x-1$;

b. $y=-2 x^{2}+8 x+6$

Bài giải:

a. $y=5 x^{2}+4 x-1$;

$a=5>0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(−\infty; \frac{-2}{5})$ và đồng biến trên $(\frac{-2}{5};+\infty)$

b. $y=-2 x^{2}+8 x+6$

$a=-2<0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(−\infty; 2)$ và nghịch biến trên $(2;+\infty)$

Giải câu 6 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài tập 6. Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ $O x y$ sao cho một chân cổng đi qua gốc $O$ như Hình 16 ( $x$ và $y$ tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có toạ độ $(162 ; 0)$. Biết một điểm $M$ trên cổng có toạ độ là $(10 ; 43)$. Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Bài giải:

Gọi hàm số là $y=a x^{2}+b x+c \ (a \neq 0)$

Ta có $(0 ; 0)$, $(10 ; 43)$, $(162 ; 0)$ thuộc đồ thị hàm số nên

$\left\{\begin{array} { l } a . 0 ^ { 2 } + b . 0 + c = 0 \\ a . 10 ^ { 2 } + b . 10 + c = 43 \\ a . 162 ^ { 2 } + b . 162 + c = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }  c = 0 \\ 100 a + 10 b = 43 \\ 162 ^ { 2 } a + 162 b = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-\frac{43}{1520} \\ b=\frac{3483}{760} \\c=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ $y=-\frac{43}{1520} x^{2}+\frac{3483}{760} x$

Đỉnh của đồ thị có tung độ là: $y=\frac{-\Delta}{4a} \approx 186(\mathrm{~m})$

Vậy chiều cao của cổng là $186$m.



Source link