Giải bài tập Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (C3 – Toán 10 Cánh diều) – Sách Toán



adsense

Giải bài tập Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (C3 – Toán 10 Cánh diều)


Giải bài tập Bài 1 trang 58 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2x – 3}=\sqrt {2{x^2} – 3x – 1}\)

b) \(\sqrt {4{x^2} – 6x – 6}  = \sqrt {{x^2} – 6} \)

c) \(\sqrt {x + 9}  = 2x – 3\)

d) \(\sqrt { – {x^2} + 4x – 2}  = 2 – x\)

Phương pháp giải

Phương trình dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)} \)

Bước 1: Bình phương hai vế và đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Bước 2: Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\). Nghiệm nào thỏa mãn thì giữ lại, không thỏa mãn thì loại.

Bước 3: Kết luận nghiệm

Phương trình có dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right)\left( {II} \right)\)

Bước 1. Giải bài tập Bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình rồi tìm tập nghiệm.

Bước 3. Trong những nghiệm của phương trình ở bước 2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\). Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế ta được

\(2{x^2} – 3x – 1 = 2x – 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x +2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \(2x – 3 \ge 0\) thì chỉ \(x=2\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{2 \right\}\)

b) Bình phương hai vế ta được

\(\begin{array}{l}4{x^2} – 6x – 6 = {x^2} – 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \({x^2} – 6 \ge 0\) thì thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\)thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)

c) \(\sqrt {x + 9}  = 2x – 3\)(*)

Ta có: \(2x – 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của (*) ta được:

\(\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x – 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}\)

d) \(\sqrt { – {x^2} + 4x – 2}  = 2 – x\)(**)

Ta có: \(2 – x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\)

Bình phương hai vế của (**) ta được:

\(\begin{array}{l} – {x^2} + 4x – 2 = {\left( {2 – x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  – {x^2} + 4x – 2 = {x^2} – 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\)

Giải bài tập Bài 2 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2 – x}  + 2x = 3\)

b) \(\sqrt { – {x^2} + 7x – 6}  + x = 4\)

Phương pháp giải

– Chuyển vế đổi dấu đưa về dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right)\)

– Giải phương trình.

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {2 – x}  + 2x = 3\)\( \Leftrightarrow \sqrt {2 – x}  = 3 – 2x\)  (1)

Ta có: \(3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của (1) ta được:

\(\begin{array}{l}2 – x = {\left( {3 – 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2 – x = 9 – 12x + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 11x + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = \frac{7}{4}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\)

b) \(\sqrt { – {x^2} + 7x – 6}  + x = 4\)\( \Leftrightarrow \sqrt { – {x^2} + 7x – 6}  = 4 – x\)  (2)

Ta có: \(4 – x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\)

Bình phương hai vế của (2) ta được:

\(\begin{array}{l} – {x^2} + 7x – 6 = {\left( {4 – x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  – {x^2} + 7x – 6 = 16 – 8x + {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 15x + 22 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = \frac{{11}}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)

Giải bài tập Bài 3 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc \({60^0}\) (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

adsense

Giải bài tập Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Phương pháp giải

– Bức tường: AC=DG.

– Vẽ hình ảnh minh họa cho độ dài các cạnh của thang, bức tường.

Hướng dẫn giải

Giải bài tập Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Gọi chiều cao bức tường DG là x (m) (x>0)

Chiều dài chiếc thang là x+1 (m)

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là: \(EG = \frac{{DG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\) (m)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

\(BC = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} – {x^2}} \)(m)

Bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m nên ta có:

\(\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} – {x^2}}  – 0,5 = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} – {x^2}}  = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1}  = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt 3 }} \ge  – \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x \ge  – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) (Luôn đúng do x>0)

Ta bình phương hai vế (*) ta được:

\(\begin{array}{l}2x + 1 = {\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,25\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{3} + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} – 2} \right)x – \frac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\left( {tm} \right)\\x \approx  – 0,5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy chiều cao của bức tường là 4,7 m.

Giải bài tập Bài 4 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1

Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Giải bài tập Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Phương pháp giải

– Gọi khoảng cách từ C đến D là x m (x>0)

– Biểu diễn DB, AD theo x.

– Biểu diễn đi từ A đến D và đi từ D đến B theo x.

– Lập phương trình và giải.

Hướng dẫn giải

Đổi 300 m =0,3 km, 800 m = 0,8 km

7,2 phút =0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0,8>x>0)

Khi đó, DB=0,8-x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} \)\( = \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} \) (km)

Thời gian đi từ A đến D là: \(\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} }}{6}\left( h \right)\)

Thời gian đi từ D đến B là: \(\frac{{0,8 – x}}{{10}}\left( h \right)\)

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} }}{6} + \frac{{0,8 – x}}{{10}} = 0,12\\ \Leftrightarrow \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} .5 + 3.\left( {0,8 – x} \right) = 0,12.30\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}}  – 3x – 1,2 = 0\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}}  = 3x + 1,2\\ \Leftrightarrow 25.\left[ {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} \right] = {\left( {3x + 1,2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25.\left( {{x^2} – 1,6x + 0,73} \right) = 9{x^2} + 7,2x + 1,44\\ \Leftrightarrow 16{x^2} – 47,2x + 16,81 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{59 + 30\sqrt 2 }}{{40}} > 0,8\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{59 – 30\sqrt 2 }}{{40}} \approx 0,414\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta bình phương được do \(x > 0 \Rightarrow 3x + 1,2 > 0\)

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 414m.

Giải bài tập Bài 5 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Giải bài tập Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Phương pháp giải

– Gọi BM=x km (0<x<7)

– Biểu diễn MC, AM theo x

– Biểu diễn thời gian từ A đến M và từ M đến C theo x.

– Lập phương trình tìm x.

Hướng dẫn giải

Gọi BM=x km (0<x<7)

=> MC=7-x (km)

Ta có: \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {16 + {x^2}} \left( {km} \right)\)

Thời gian từ A đến M là: \(\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\left( h \right)\)

Thời gian từ M đến C là: \(\frac{{7 – x}}{5}\left( h \right)\)

Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 – x}}{5} = \frac{{148}}{{60}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 – x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {16 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{3.\left( {7 – x} \right)}}{{15}} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}}  + 3.\left( {7 – x} \right) = 37\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}}  = 16 + 3x\\ \Leftrightarrow 25.\left( {16 + {x^2}} \right) = 9{x^2} + 96x + 256\\ \Leftrightarrow 16{x^2} – 96x + 144 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến M là 3 km.



Source link